• Hva er et tallsystem?
• Ikke-posisjonelle tallsystemer
• Semi-posisjonelle tallsystemer
• Posisjonsnummersystemer

Vi forklarer hva et nummereringssystem er og vi studerer egenskapene til hver type system, gjennom eksempler fra ulike kulturer.

Hvert tallsystem inneholder et bestemt og begrenset sett med symboler.

Hva er et tallsystem?

Et tallsystem er et sett med symboler og regler som antall objekter i et tall kan uttrykkes med. sett, det vil si som alle gyldige tall kan representeres gjennom. Dette betyr at hvert tallsystem inneholder et gitt og begrenset sett med symboler, pluss et gitt og endelig sett med regler for å kombinere dem.

Nummersystemer var en av de viktigste menneskelige oppfinnelsene i antikken, og hver av de gamle sivilisasjonene hadde sitt eget system, knyttet til sin måte å se verden på, det vil si med sin kultur.

Grovt sett kan nummereringssystemer klassifiseres i tre forskjellige typer:

• ikke-posisjonelle systemer. De er de der hvert symbol tilsvarer en fast verdi, uavhengig av posisjonen det inntar innenfor tallet (hvis det vises først, til den ene siden eller etter).
• Semi-posisjonelle systemer. De er de der verdien av et symbol har en tendens til å være fast, men kan endres i spesielle situasjoner med utseende (selv om de pleier å være ganske unntak). Det forstås som et mellomsystem mellom det posisjonelle og det ikke-posisjonelle.
• Posisjonelle eller vektede systemer.De er de der verdien av et symbol bestemmes både av dets eget uttrykk og av plassen det opptar i tallet, og kan være verdt mer eller mindre eller uttrykke forskjellige verdier avhengig av hvor det er plassert.

Det er også mulig å klassifisere nummersystemer basert på antallet de bruker som grunnlag for sine beregninger. Således er for eksempel det nåværende vestlige systemet desimalt (siden basen er 10), mens det sumeriske nummersystemet var sexagesimalt (basen var 60).

Ikke-posisjonelle tallsystemer

Ikke-posisjonelle systemer var enkle å lære, men krevde en rekke symboler.

Ikke-posisjonelle tallsystemer var de første som fantes og hadde de mest primitive basene: fingre, knuter på et tau eller andre registreringsmetoder for å koordinere tallsett. For eksempel, hvis du teller på fingrene på en hånd, kan du telle på hele hender.

I disse systemene har sifrene sin egen verdi, uavhengig av plassering i symbolkjeden, og for å danne nye symboler må verdiene til symbolene legges til (av denne grunn er de også kjent som additive systemer). Disse systemene var enkle, enkle å lære, men krevde mange symboler for å uttrykke store mengder, så de var ikke helt effektive.

Eksempler på denne typen systemer er:

• Det egyptiske tallsystemet. Dukket opp rundt det tredje årtusen f.Kr. C., var basert på de ti og brukte hieroglyfer forskjellig for hver rekkefølge av enheter: en for enheten, en for de ti, en for hundre og så videre opp til millionen.
• Det aztekiske tallsystemet. Typisk for Mexica-imperiet, hadde det 20 som base og brukte spesifikke objekter som symboler: et flagg tilsvarte 20 enheter, en fjær eller noen få hår tilsvarte 400, en pose eller sekk tilsvarte 8000, blant andre.
• Det greske tallsystemet.Nærmere bestemt den joniske, ble oppfunnet og spredt i det østlige Middelhavet fra det fjerde århundre f.Kr. C., erstatter det eksisterende akrofoniske systemet. Det var et alfabetisk system, som brukte bokstaver til å bety tall, og matchet bokstaven med dens kardinalplass i alfabetet (A=1, B=2). Dermed ble hvert tall fra 1 til 9 tildelt en bokstav, hver ti en annen spesifikk bokstav, hver hundre annen, inntil 27 bokstaver ble brukt: de 24 i det greske alfabetet og tre spesialtegn.

Semi-posisjonelle tallsystemer

Semi-posisjonelle systemer svarte på behovene til en mer utviklet økonomi.

Semi-posisjonelle tallsystemer kombinerer forestillingen om den faste verdien til hvert symbol med visse posisjoneringsregler, slik at de kan forstås som et hybrid eller blandet system mellom posisjonelle og ikke-posisjonelle. De har fasiliteter for å representere store tall, administrere rekkefølgen av tall og formelle prosedyrer som multiplikasjon, så de representerer et skritt fremover i kompleksitet sammenlignet med ikke-posisjonelle systemer.

I stor grad kan fremveksten av semi-posisjonelle systemer forstås som overgangen mot en mer effektiv nummereringsmodell som kan tilfredsstille de mer komplekse behovene til en mer utviklet økonomi, slik som de store imperiene i den klassiske antikken.

Eksempler på denne nummereringsmodellen er:

• Det romerske tallsystemet. Laget i den romerske antikken, overlever den til i dag. I dette systemet ble figurene bygget ved hjelp av visse store bokstaver i det latinske alfabetet (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, etc.), hvis verdi ble fastsatt og operert basert på addisjon og subtraksjon, avhengig av der symbolet vises.Hvis symbolet var til venstre for et symbol med lik eller mindre verdi (som i II = 2 eller XI = 11), skal de totale verdiene legges til; mens hvis symbolet var til venstre for et symbol med høyere verdi (som i IX = 9, eller IV = 4), måtte de trekkes fra.
• Det klassiske kinesiske tallsystemet. Dens opprinnelse dateres tilbake til omtrent 1500 f.Kr. C. og er et veldig strengt system for vertikal representasjon av tall gjennom sine egne symboler, som kombinerer to forskjellige systemer: ett for dagligdagse skriving, og et annet for kommersielle eller finansielle poster. Det var et desimalsystem som hadde ni forskjellige tegn som kunne plasseres ved siden av hverandre for å legge til verdiene deres, noen ganger ved å sette inn et spesielt tegn eller alternere plasseringen av tegnene for å indikere en spesifikk operasjon.

Posisjonsnummersystemer

Det nåværende nummereringssystemet kommer fra det hindu-arabiske systemet.

Posisjonelle tallsystemer er de mest komplekse og effektive av de tre typene tallsystemer som finnes. Kombinasjonen av riktig verdi av symbolene og verdien tildelt av deres posisjon gjør at de kan bygge svært høye figurer med svært få tegn, legge til og/eller multiplisere verdien av hver enkelt, noe som gjør dem mer allsidige og moderne systemer.

Vanligvis bruker posisjonssystemer et fast sett med symboler, og gjennom deres kombinasjon produseres resten av de mulige figurene, i det uendelige, uten behov for å lage nye tegn, men snarere ved å innvie nye kolonner med symboler. Dette innebærer selvfølgelig at en feil i strengen også endrer den totale verdien av tallet.

De første eksemplene på systemer av denne typen oppsto innenfor de store imperiene eller de mest krevende eldgamle kulturene i kulturelle og kommersielle spørsmål, som det babylonske riket i det andre årtusen f.Kr. C. Eksempler på denne typen nummereringssystem er:

• Det moderne desimalsystemet.Med bare sifrene fra 0 til 9, lar den deg bygge et hvilket som helst tall ved å legge til kolonner hvis verdi legges til når du beveger deg til høyre, med ti som base. Ved å legge til symboler til 1 kan vi bygge 10, 195, 1958 eller 19589. Det er viktig å presisere at symbolene som brukes kommer fra hindu-arabiske tall.
• Det hindu-arabiske tallsystemet. Oppfunnet av de gamle vismennene i India og senere arvet av de muslimske araberne, nådde den Vesten gjennom Al-Andalus og endte opp med å erstatte romertall tradisjonell. I dette systemet, i likhet med den moderne desimalen, er enheter fra 0 til 9 representert av spesifikke glyfer, som representerte verdien til hver enkelt ved hjelp av linjer og vinkler. Driftssystemet til dette systemet er i utgangspunktet det samme som det moderne vestlige desimalsystemet.
• Mayas tallsystem. Den ble opprettet for å måle tid, i stedet for å foreta matematiske transaksjoner, og basen var vigesimal og symbolene tilsvarer kalenderen til denne førkolumbianske sivilisasjonen. Figurene, gruppert 20 ganger 20, er representert med grunnleggende tegn (striper, prikker og snegler eller skjell); og for å gå til neste poengsum, legges et poeng til på neste skrivenivå. i tillegg Mayaer de var blant de første som brukte tallet null.