Vi forklarer hva et teorem er, dets funksjon og hva dets deler er. I tillegg kommer teoremene til Pythagoras, Thales, Bayes og andre.
Hva er et teorem?
Et teorem er en forslag at, basert på visse forutsetninger eller hypotese, kan testbart hevde en ikke-selvfølgende avhandling (fordi det i så fall ville være en aksiom). De er veldig vanlige innenfor formelle språk, som matte bølge logikk, siden de utgjør uttalelsen av visse formelle regler eller "spilleregler".
Teoremer foreslår ikke bare stabile relasjoner mellom lokaler og konklusjon, men gir også de grunnleggende nøklene for å bevise det. Beviset for teoremer er faktisk en sentral del av matematisk logikk, siden andre kan utledes fra ett teorem og dermed utvide kunnskapen om det formelle systemet.
Imidlertid, innen matematiske studier, brukes begrepet "teorem" bare for forslag av spesiell interesse for det akademiske samfunnet. I motsetning til dette, i førsteordens logikk, er ethvert bevisbart utsagn i seg selv et teorem.
Ordet "teorem" kommer fra gresk teorem, avledet fra verbet teori, som betyr "kontemplere", "dømme" eller "reflektere", hvorfra også ordet "teori" kommer.
For de gamle grekerne var et teorem et resultat av nøye og nøye observasjon og refleksjon, og det var et begrep som ble brukt svært ofte av mange filosofer og matematikere på den tiden.Derfra kommer også det akademiske skillet mellom begrepene «teorem» og «problem»: det første er teoretisk og det andre er praktisk.
Hvert teorem har tre deler:
- Hypotese enten lokaler. Det er det logiske innholdet som konklusjonen kan utledes fra og går derfor foran den.
- Avhandling eller konklusjon. Det er det som står i teoremet og som formelt kan demonstreres ut fra det som er foreslått av premissene.
- Følger. De er de deduksjonene eller sekundære og tilleggsformuleringer som er hentet fra teoremet.
Pythagoras teorem
Pythagoras teoremet er en av de eldste matematiske teoremene kjent for menneskeheten. Den tilskrives den greske filosofen Pythagoras fra Samos (ca. 569 – ca. 475 f.Kr.), selv om teoremet antas å være mye eldre, muligens av babylonsk opprinnelse, og at Pythagoras var den første som beviste det.
Denne teoremet foreslår at gitt a triangel rektangel (det vil si å ha minst én rett vinkel), kvadratet av lengden på siden av trekanten motsatt den rette vinkelen (hypotenusen) vil alltid være lik summen av kvadratet av lengden på de to andre sidene (kalt ben). Dette står som følger:
I enhver rettvinklet trekant vil kvadratet på hypotenusen være lik summen av kvadratene til bena.
Og med følgende formel:
en2 + b2 = c2
Hvor en Y b lik lengden på bena og c til lengden av hypotenusen. Derfra kan tre konsekvenser også utledes, det vil si avledede formler som har praktisk anvendelse og algebraisk verifisering:
en = √c2 – b2
b = √c2 – a2
c = √a2 + b2
Pythagoras teoremet har blitt bevist flere ganger gjennom historien: av Pythagoras selv og av andre geometre og matematikere som Euclid, Pappus, Bhaskara, Leonardo da Vinci, Garfield, blant andre.
Thales teorem
Tilskrevet den greske matematikeren Thales fra Milet (ca. 624 – ca. 546 f.Kr.), omhandler denne todelte teoremet (eller disse to teoremene med samme navn) geometri av trekantene, som følger:
- Thales første teorem foreslår at hvis en av sidene i en trekant fortsettes forbi med en parallell linje, vil en større trekant, men med samme proporsjoner, oppnås. Dette kan uttrykkes slik:
Gitt to proporsjonale trekanter, en stor og en liten, vil forholdet mellom to av sidene i den store trekanten (A og B) alltid være lik forholdet mellom de samme sidene til den lille (C og D).
A/B = C/D
Denne teoremet tjente, ifølge den greske historikeren Herodot, Thales til å måle størrelsen på Cheops-pyramiden i Egypt, uten å måtte bruke instrumenter av enorm størrelse.
- Thales andre teorem foreslår at gitt en omkrets hvis diameter er AC og sentrum "O" (forskjellig fra A og C), kan en rettvinklet trekant ABC dannes slik at
To følger av dette:
- I enhver rettvinklet trekant er lengden på medianen som tilsvarer hypotenusen alltid halve hypotenusen.
- Den omskrevne omkretsen av en rettvinklet trekant har alltid en radius som er lik halve hypotenusen, og dens omkretssenter vil være plassert i midten av hypotenusen.
Bayes teorem
Bayes' teorem ble foreslått av den engelske matematikeren Thomas Bayes (1702-1761) og publisert etter hans død i 1763. Denne teoremet uttrykker sannsynligheten for at en hendelse "A gitt B" skal inntreffe og dens sammenheng med sannsynligheten for en hendelse "B gitt A" ". Denne teoremet er svært viktig i teorien om sannsynlighet, og er formulert som følger:
Dette betyr at det er mulig å beregne sannsynligheten for en hendelse (A) hvis vi vet at den oppfyller en viss nødvendig betingelse for at den skal inntreffe, omvendt til totalsannsynlighetsteoremet.
Andre kjente teoremer
Andre kjente teoremer er:
- Ptolemaios teorem. Det gjelder at i hver syklisk firkant er summen av produktene til parene av motsatte sider lik produktet av deres diagonaler.
- Euler-Fermat-teoremet. Han fastholder at ja en Y n er heltall slektninger, altså n deler til aᵩ(n)-1.
- Lagranges teorem. Han fastholder at ja F er en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall [a, b] og differensierbar på det åpne intervallet (a, b), så eksisterer det et punkt c ved (a, b) slik at en tangentlinje i det punktet er parallell med sekantlinjen gjennom punktene (a, F(a)) og (b, F(b)).
- Thomas' teorem. Han argumenterer for at hvis folk etablerer en situasjon som reell, blir den situasjonen reell i sine konsekvenser.